Вступление
Одна из самых интересных проблем философии науки — это связь математики и физической реальности. Почему математика так хорошо описывает происходящее во вселенной? Ведь многие области математики были сформированы без какого-либо участия физики, однако, как в итоге оказалось, они стали основой в описании некоторых физических законов. Как это можно объяснить?
Наиболее явно этот парадокс можно наблюдать в ситуациях, когда какие-то физические объекты были сначала открыты математически, а уже потом были найдены доказательства их физического существования. Наиболее известный пример — открытие Нептуна. Урбен Леверье сделал это открытие просто вычисляя орбиту Урана и исследуя расхождения предсказаний с реальной картиной. Другие примеры — предсказание Дираком о существовании позитронов и предположение Максвелла о том, что колебания в электрическом или магнитном поле должно порождать волны.
Ещё более удивительно, что некоторые области математики существовали задолго до того, как физики поняли, что они подходят для объяснения некоторых аспектов вселенной. Конические сечения, изучаемые ещё Аполлонием в древней Греции, были использованы Кеплером в начале 17 века для описания орбит планет. Комплексные числа были предложены за несколько веков до того, как физики стали использовать их для описания квантовой механики. Неевклидова геометрия было создана за десятилетия до теории относительности.
Почему математика так хорошо описывает природные явления? Почему из всех способов выражения мыслей, математика работает лучше всего? Почему, например, нельзя предсказать точную траекторию движения небесных тел на языке поэзии? Почему мы не можем выразить всю сложность периодической таблицы Менделеева музыкальным произведением? Почему медитация не сильно помогает в предсказании результата экспериментов квантовой механики?
Лауреат нобелевской премии Юджин Вигнер, в своей статье «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences», также задается этими вопросами. Вигнер не дал нам каких-то определенных ответов, он писал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках — это что-то мистическое и этому нет рационального объяснения».
Альберт Эйнштейн по этому поводу писал:
Как может математика, порождение человеческого разума, независимое от индивидуального опыта, быть таким подходящим способом описывать объекты в реальности? Может ли тогда человеческий разум силой мысли, не прибегая к опыту, постичь свойства вселенной? [Einstein]
Давайте внесем ясность. Проблема действительно встает, когда мы воспринимаем математику и физику как 2 разные, превосходно сформированные и объективные области. Если смотреть на ситуацию с этой стороны, то действительно непонятно почему эти две дисциплины так хорошо работают вместе. Почему открытые законы физики так хорошо описываются (уже открытой) математикой?
Этот вопрос обдумывался многими людьми, и они дали множество решений этой проблемы. Теологи, например, предложили Существо, которое строит законы природы, и при этом использует язык математики. Однако введение такого Существа только все усложняет. Платонисты (и их кузены натуралисты) верят в существование «мира идей», который содержит все математические объекты, формы, а так же Истину. Там же находятся и физические законы. Проблема с Платонистами в том, что они вводят ещё одну концепцию Платонического мира, и теперь мы должны объяснить отношение между тремя мирами (прим. переводчика. Я так и не понял зачем третий мир, но оставил как есть). Так же встает вопрос являются ли неидеальные теоремы идеальными формами (объектами мира идей). Как насчет опровергнутых физических законов?
Наиболее популярная версия решения поставленной проблемы эффективности математики заключается в том, что мы изучаем математику, наблюдая за физическим миром. Мы поняли некоторые свойства сложения и умножения считая овец и камни. Мы изучили геометрию, наблюдая за физическими формами. С этой точки зрения, неудивительно, что физика идет за математикой, ведь математика формируется при тщательном изучении физического мира. Главная проблема с этим решением заключается в том, что математика неплохо используется в областях, далеких от человеческого восприятия. Почему же спрятанный мир субатомных частиц так хорошо описывается математикой, изученной благодаря подсчетам овец и камней? почему специальная теория относительности, которая работает с объектами, двигающимися со скоростями близкими к скорости света, хорошо описывается математикой, которая сформирована наблюдением за объектами, двигающимися с нормальной скоростью?
В двух статьях (раз, два) Макр Зельцер и Я (Носон Яновски) сформулировали новый взгляд на природу математики (прим. переводчика. В целом в тех статьях написано то же, что и здесь, но куда более развернуто). Мы показали, что также, как и в физике, в математике огромную роль играет симметрия. Такой взгляд дает довольно оригинальное решение поставленной проблемы.
Что есть физика
Прежде чем рассматривать причину эффективности математики в физике, мы должны поговорить о том, что такое физические законы. Говорить, что физические законы описывают физические феномены, несколько несерьезно. Для начала можно сказать, что каждый закон описывает много явлений. Например закон гравитации говорит нам что будет, если я уроню свою ложку, также он описывает падение моей ложки завтра, или что будет если я уроню ложку через месяц на Сатурне. Законы описывают целый комплекс разных явлений. Можно зайти и с другой стороны. Одно физическое явление может наблюдаться совершенно по-разному. Кто-то скажет, что объект неподвижен, кто-то, что объект движется с постоянной скоростью. Физический закон должен описывать оба случая одинаково. Также, например, теория тяготения должна описывать мое наблюдение падающей ложки в двигающимся автомобиле, с моей точки зрения, с точки зрения моего друга, стоящего на дороге, с точки зрения парня, стоящего у него на голове, рядом с черной дырой и т.п.
Встает следующий вопрос: как классифицировать физические явления? Какие стоит группировать вместе и приписывать одному закону? Физики используют для этого понятие симметрии. В разговорной речи слово симметрия используют для физических объектов. Мы говорим, что комната симметрична, если левая её часть похожа на правую. Иными словами, если мы поменяем местами стороны, то комната будет выглядеть точно также. Физики немного расширили это определение и применяют его к физическим законам. Физический закон симметричен по отношению к преобразованию, если закон описывает преобразованный феномен таким же образом. Например, физические законы симметричны по пространству. То есть явление, наблюдаемое в Пизе, так же может наблюдаться в Принстоне. Физические законы также симметричны по времени, т.е. эксперимент, проведенный сегодня должен дать такие же результаты, как если бы его провели завтра. Ещё одна очевидная симметрия — ориентация в пространстве.
Существует множество других типов симметрий, которым должны соответствовать физические законы. Относительность по Галиею требует, чтобы физические законы движения оставались неизменными, независимо от того неподвижен объект, или двигается с постоянной скоростью. Специальная теория относительности утверждает, что законы движения должны оставаться прежними, даже если объект движется со скоростью, близкой к скорости света. Общая теория относительности говорит, что законы остаются прежними, даже если объект движется с ускорением.
Физики обобщали понятие симметрии по-разному: локальная симметрия, глобальная симметрия, непрерывная симметрия, дискретная симметрия и т.д. Виктор Стенджер объединил множество видов симметрии по тем, что мы называем инвариантность по отношению к наблюдателю (point of view invariance). Это означает, что законы физики должны оставаться неизменными, независимо от того, кто и как их наблюдает. Он показал как много областей современной физики (но не все) могут быть сведены к законам, удовлетворяющими инвариантности по отношению к наблюдателю. Это означает, что явления, относящиеся к одному феномену, связанны, несмотря на то, что они могут рассматриваться по-разному.
Понимание настоящей важности симметрии прошло с теорией относительности Эйнштейна. До него люди сначала открывали какой-то физический закон, а потом находили в нем свойство симметрии. Эйнштейн же использовал симметрию, чтобы найти закон. Он постулировал, что закон должен быть одинаков для неподвижного наблюдателя и для наблюдателя, двигающегося со скоростью, близкой к световой. С этим предположением, он описал уравнения специальной теории относительности. Это была революция в физике. Эйнштейн понял, что симметрия — определяющая характеристика законы природы. Не закон удовлетворяет симметрии, а симметрия порождает закон.
В 1918 году Эмми Нётер показала, что симметрия ещё более важное понятие в физике, чем думали до этого. Она доказала теорему, связывающую симметрии с законами сохранения. Теорема показала, что каждая симметрия порождает свой закон сохранения, и наоборот. Например инвариантность по смещению в пространстве порождает закон сохранения линейного импульса. Инвариантность по времени порождает закон сохранения энергии. Инвариантность по ориентации порождает закон сохранения углового момента. После этого физики стали искать новые виды симметрий, чтобы найти новые законы физики.
Таким образом мы определили что называть физическим законом. С этой точки зрения неудивительно, что эти законы кажутся нам объективными, вневременными, независимыми от человека. Так как они инвариантны по отношению к месту, времени, и взгляду на них человека, создается впечатление, что они существуют «где-то там». Однако на это можно посмотреть и по-другому. Вместо того, чтобы говорить, что мы смотрим на множество различных следствий из внешних законов, мы можем сказать, что человек выделил какие-то наблюдаемые физические явления, нашел в них что-то похожее и объединил их в закон. Мы замечаем только то, что воспринимаем, называем это законом и пропускаем все остальное. Мы не можем отказаться от человеческого фактора в понимании законов природы.
Прежде чем мы двинемся дальше, нужно упомянуть о одной симметрии, которая настолько очевидная, что о ней редко когда упоминают. Закон физики должен обладать симметрией по приложению (symmetry of applicability). То есть если закон работает с объектом одного типа, то он будет работать и с другим объектом такого же типа. Если закон верен для одной положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью, близкой к скорости света, то он будет работать и для другой положительно заряженной частицы, двигающейся со скоростью такого же порядка. С другой стороны, закон может не работать для макрообъектов с малой скоростью. Все похожие объекты связанны с одним законом. Нам понадобится этот вид симметрии, когда мы будем обсуждать связь математики с физикой.
Что есть математика
Давайте потратим немного времени на то, чтобы понять самую суть математики. Мы рассмотрим 3 примера.
Давным давно какой-то фермер обнаружил, что если ты возьмешь девять яблок и соединишь их с четырьмя яблоками, то в итоге ты получишь тринадцать яблок. Некоторое время спустя он обнаружил, что если девять апельсинов соединить с четырьмя апельсинами, то получится тринадцать апельсинов. Это означает, что если он обменяет каждое яблоко на апельсин, то количество фруктов останется неизменным. В какое-то время математики накопили достаточно опыта в подобных делах и вывели математическое выражение 9 + 4 = 13. Это маленькое выражение обобщает все возможные случаи таких комбинаций. То есть оно истинно для любых дискретных объектов, которые можно обменять на яблоки.
Более сложный пример. Одна из важнейших теорем алгебраической геометрии — теорема Гильберта о нулях (https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гильберта_о_нулях ). Она заключается в том, что для каждого идеала J в полиномиальном кольце существует соответствующее алгебраическое множество V(J), а для каждого алгебраического множества S существует идеал I(S). Связь этих двух операций выражается как , где
— радикал идеала. Если мы заменим одно алг. мн-во на другое, мы получим другой идеал. Если мы заменим один идеал на другой, мы получим другое алг. мн-во.
Одним из основных понятий алгебраической топологии является гомоморфизм Гуревича. Для каждого топологического пространства X и положительного k существует группа гомоморфизмов из k-гомотопичой группы в k-гомологичную группу. . Этот гомоморфизм обладает особым свойством. Если пространство X заменить на пространство Y, а
заменить на
, то гомоморфизм будет другим
. Как и в предыдущем примере, какой-то конкретный случай этого утверждения не имеет большого значения для математики. Но если мы собираем все случаи, то мы получаем теорему.
В этих трех примерах мы смотрели на изменение семантики математических выражений. Мы меняли апельсины на яблоки, мы меняли одну идею на другую, мы заменяли одно топологическое пространство на другое. Главное в этом то, что делая правильную замену, математическое утверждение остается верным. Мы утверждаем, что именно это свойство является основным свойством математики. Так что мы будем называть утверждение математическим, если мы можем изменить то, на что оно ссылается, и при этом утверждение останется верным.
Теперь к каждому математическому утверждению нам нужно будет приставить область применения. Когда математик говорит «для каждого целого n», «Возьмем пространство Хаусдорфа», или «пусть C — кокуммутативная, коассоциативная инволютивная коалгебра», он определяет область применения для своего утверждения. Если это утверждение правдиво для одного элемента из области применения, то оно правдиво для каждого (при условии правильного выбора этой самой области применения, прим. пер.).
Эта замена одного элемента на другое, может быть описана как одно из свойств симметрии. Мы называем это симметрия семантики. Мы утверждаем, что эта симметрия фундаментальна, как для математики, так и для физики. Таким же образом, как физики формулируют свои законы, математики формулируют свои математические утверждения, одновременно определяя в какой области применения утверждение сохраняет симметрию семантики (иными словами где это утверждение работает). Зайдем дальше и скажем, что математическое утверждение — утверждение, которое удовлетворяет симметрии семантики.
Если среди вас найдутся логики, то им понятие симметрии семантики будет вполне очевидно, ведь логическое высказывание истинно, если оно истинно для каждой интерпретации логической формулы. Здесь же мы говорим, что мат. утверждение верно, если оно верно для каждого элемента из области применения.
Кто-то может возразить, что такое определение математики слишком широкое и что утверждение, удовлетворяющее симметрии семантики — просто утверждение, не обязательно математическое. Мы ответим, что во-первых, математика в принципе достаточно широка. Математика — это не только разговоры о числах, она о формах, высказываниях, множествах, категориях, микросостояниях, макросостояниях, свойствах и т.п. Чтобы все эти объекты были математическими, определение математики должно быть широким. Во-вторых, существует множество утверждений, не удовлетворяющих симметрии семантики. «В Нью-Йорке в январе холодно», «Цветы бывают только красными и зелеными», «Политики — честные люди». Все эти утверждения не удовлетворяют симметрии семантики и, следоваиельно, не математические. Если есть контрпример из области применения, то утверждение автоматически перестает быть математическим.
Математические утверждения удовлетворяют также и другим симметриям, например симметрии синтаксиса. Это означает, что одни и те же математические объекты могут быть представлены по-разному. Например число 6 может быть представлено как «2 * 3», или «2 + 2 + 2», или «54/9». Также мы можем говорить о «непрерывной самонепересекающийся кривой», о «простой замкнутой кривой», о «жордановой кривой», и мы будем иметь в виду одно и то же. На практике математики пытаются использовать наиболее простой синтаксис (6 вместо 5+2-1).
Некоторые симметрические свойства математики кажутся настолько очевидными, что о них вообще не говорят. Например математическая истина инвариантна по отношению ко времени и пространству. Если утверждение истинно, то оно будет истинно также завтра в другой части земного шара. Причем неважно, кто его произнесет — мать Тереза или Альберт Эйнштейн, и на каком языке.
Так как математика удовлетворяет всем этим типам симметрии, легко понять почему нам кажется, что математика (как и физика) объективна, работает вне времени и независима от наблюдений человека. Когда математические формулы начинают работать для совершенно разных задач, открытых независимо, иногда в разных веках, начинает казаться, что математика существует «где-то там». Однако, симметрия семантики (а это именно то, что происходит) — это фундаментальная часть математики, определяющая её. Вместо того, чтобы сказать, что существует одна математическая истина и мы лишь нашли несколько её случаев, мы скажем, что существует множество случаев математических фактов и человеческий разум объединил их вместе, создав математическое утверждение.
Почему математика хороша в описании физики?
Ну что, теперь мы можем задаться вопросов почему математика так хорошо описывает физику. Давайте взглянем на 3 физических закона.
- Наш первый пример — гравитация. Описание одного феномена гравитации может выглядеть как «В Нью-Йорке, Бруклин, Майн стрит 5775, на втором этаже в 21.17:54, я увидел двухсотграммовую ложку, которая упала и стукнулась о пол спустя 1.38 секунд». Даже если мы настолько аккуратны в наших записях, они нам не сильно помогут в описаниях всех явлений гравитации (а именно это и должен делать физический закон). Единственный хороший способ записать этот закон будет записать его математическим утверждением, приписав к нему все наблюдаемые явления гравитации. Мы можем сделать это, написав закон Ньютона
. Подставляя массы и расстояние, мы получим наш конкретный пример гравитационного явления.
- Точно также для того, чтобы найти экстремум движения, нужно применить формулу Эйлера-Лагранжа
- Единственный способ описать взаимоотношения между давлением, объемом, количеством и температурой идеального газа — это записать закон
В каждом из трех приведенных примеров физические законы естественно выражаются только через математические формулы. Все физические явления, которые мы хотим описать, находятся внутри математического выражения (точнее в частных случаях этого выражения). В терминах симметрий мы говорим, что физическая симметрия применимости — частный случай математической симметрии семантики. Более точно, из симметрии применимости следует, что мы можем заменить один объект на другой (того же класса). Значит математическое выражение, которое описывает явление, должно обладать таким же свойством (то есть его область применения должна быть хотя бы не меньше).
Иными словами, мы хотим сказать, что математика так хорошо работает в описании физических явлений, потому-что физика с математикой формировались одинаковым образом. Законы физики не находятся в платоновом мире и не являются центральными идеями в математике. И физики, и математики выбирают свои утверждения таким образом, чтобы они подходили ко многим контекстам. В этом нет ничего странного, что абстрактные законы физики берут свое начало в абстрактном языке математики. Как и в том, что некоторые математические утверждения сформулированы задолго до того, как были открыты соответствующие законы физики, ведь они подчиняются одним симметриям.
Теперь мы полностью решили загадку эффективности математики. Хотя, конечно, есть ещё множество вопросов, на которые нет ответов. Например, мы можем спросить почему у людей вообще есть физика и математика. Почему мы способны замечать симметрии вокруг нас? Частично ответ на этот вопрос в том, что быть живым — значит проявлять свойство гомеостазиса, поэтому живые существа должны защищаться. Чем лучше они понимают своё окружение, тем лучше они выживают. Неживые объекты, например камни и палки, никак не взаимодействуют со своим окружением. Растения же, с другой стороны, поворачиваются к солнцу, а их корни тянутся к воде. Более сложное животное может замечать больше вещей в своем окружении. Люди замечают вокруг себя множество закономерностей. Шимпанзе или, например, дельфины не могут этого. Закономерности наших мыслей мы называем математикой. Некоторые из этих закономерностей являются закономерностями физических явлений вокруг нас, и мы называем эти закономерности физикой.
Можно задаться вопросом почему в физических явлениях вообще есть какие-то закономерности? Почему эксперимент проведенный в Москве даст такие же результаты, если его провести в Санкт-Петербурге? Почему отпущенный мячик будет падать с одинаковой скоростью, несмотря на то, что его отпустили в другое время? Почему химическая реакция будет протекать одинаково, даже если на неё смотрят разные люди? Чтобы ответить на эти вопросы мы можем обратиться к антропному принципу. Если бы во вселенной не было каких-то закономерностей, то нас бы не существовало. Жизнь пользуется тем фактом, что у природы есть какие-то предсказуемые явления. Если бы вселенная была полностью случайна, или похожа на какую-то психоделическую картину, то никакая жизнь, по крайней мере интеллектуальная жизнь, не смогла бы выжить. Антропный принцип, вообще говоря, не решает поставленную проблему. Вопросы типа «Почему существует вселенная», «Почему есть что-то» и «Что тут вообще происходит» пока остаются без ответа.
Несмотря на то, что мы не ответили на все вопросы, мы показали, что наличие структуры в наблюдаемой вселенной вполне естественно описывается на языке математики.
m.habr.com
Математические законы природы
В наши дни распространено мнение, что все обычные явления на Земле, в том числе жизнь, могут быть в принципе объяснены взаимодействием и движением нескольких типов элементарных частиц — с помощью уже известных законов физики. В своей книге «Характер физических законов» известный физик Р.Фейнман пишет: «Нам необыкновенно повезло, что мы живем, когда еще можно делать открытия. Век, в который мы живем, это век открытия основных законов природы, и это время уже никогда не повторится. В конце концов наступит время, когда все станет известным или дальнейший поиск окажется очень нудным».
Аналогичные взгляды разделяло и разделяет большинство ведущих физиков. Вот что говорил Эйнштейн: «Путем чисто логической дедукции из общих положений, лежащих в основе мысленных построений теоретической физики, можно было бы вывести картину, т.е. теорию всех явлений природы, включая жизнь, если этот процесс дедукции не выходил бы далеко за пределы творческой возможности человеческого мышления». Эти высказывания принимают само собой разумеющимся, что фундаментальные (т.е. не сводящиеся к другим) законы природы имеются только в микромире, а химическая, биологическая и другие макроскопические формы движения материи никаких новых и тем более еще не открытых фундаментальных законов не имеют.
Такого рода «физический фундаментализм» восходит к воззрениям ученых XIX века, которые были уверены, что абсолютные законы механики Ньютона дают ключ к расшифровке всех явлений природы. Широко известен афоризм великого французского астронома и математика Пьера Лапласа; «Дайте мне все начальные условия, и я предскажу будущее мира». Физики прошлого века видели в классической механике незыблемое основание для всей физики и даже всего естествознания. Как следствие такого мировоззрения в XIX веке распространилась и мысль о том, что в основном все уже открыто.
Как ни странно, но новейшая физика, избавившись от многих заблуждений давних времен, эту самоуверенность сохранила в полной мере. Разумеется, эмоциональные основания тут имелись — вспомните феерические успехи квантовой механики 20-х годов. О царивших тогда настроениях и надеждах можно судить по словам В.Гейзенберга, сказанным им вскоре после получения Нобелевской премии; «В течение нескольких лет мы навели порядок в электродинамике. Теперь нам нужно еще несколько лет на атомные ядра, и с физикой будет покончено. Тогда мы сможем приступить к биологии».
Примерно в то же горячее время Нильс Бор, обогативший физику плодотворными понятиями квантовых скачков и принципа дополнительности, призывал к использованию идей дополнительности в физиологии и психологии, а генетические мутации предлагал рассматривать как квантовые скачки.
Между тем можно ли все многообразие мира исчерпать квантовой механикой?
Напомним, что еще Фридрих Энгельс писал о качественно различных и не сводимых одна к другой формах движения материи: механике, физике, химии, биологии и истории человеческого общества. Однако не надо забывать, что в конкретных науках философия является не более чем эвристическим методом (т.е. играет роль подсказки, а не самого ответа) и не может, конечно, заменить собой конкретно-научного исследования.
Многие ученые-естественники также придерживались той точки зрения, что из фундаментальных законов физики не удастся чисто дедуктивно вывести все остальные явления природы. Прежде всего сам Эйнштейн как-то с грустью признал, что исходя из одних только основных принципов физики вряд ли удалось бы теоретически предсказать такое явление, как жизнь, если бы мы сами не являли «экспериментальный пример» этого явления.
Профессор Лондонского университета Г.Бонди, анализируя в своей книге «Гипотезы и мифы в физической теории» логическую структуру научных теорий, пришел к выводу об абсолютной необходимости того, чтобы в любой теории оставалось место для новых, не известных до поры до времени фактов. По Бонди, «любая теория, претендующая объять все, должна немедленно погибнуть», так как она окажется бесполезно жесткой и неприспособленной для введения чего-то нового. Вот почему Г. Бонди никогда не верил в то, что Гейзенбергу удастся найти единое «мировое уравнение поля», в котором будет заключено все.
П.Эренфест, долгие годы занимавшийся обоснованием статистических методов в термодинамике, еще в 20-х годах писал, что основные утверждения статистики не следуют из механики:
«Это к настоящему времени неискорененное утверждение является целиком неосновательным».
Вышеприведенные мысли Эйнштейна, Бонди, Эренфеста и аналогичные высказывания других ученых являются опять-таки качественными и обладают не более чем эвристической ценностью. К тому же в науке (в настоящей науке) никакие вопросы не решаются большинством голосов, хотя бы голосовали и нобелевские лауреаты. Чтобы всерьез отвергнуть или принять идею «физического фундаментализма», нужны математически строгие рассуждения. Обратимся к ним.
Прежде всего остановимся на так называемой теореме о неполноте арифметики, опубликованной 25-летним австрийцем Куртом Гёделем в 1931 г. Смысл теоремы Гёделя состоит в том, что метода дедукции (т. е. правил логики и математики) не хватает даже на то, чтобы вывести из конечного числа принципов все истинные утверждения о целых числах, формулируемые на языке школьной алгебры. Конкретнее, для каждого мыслимого математического языка арифметики существуют свойства целых чисел, в нем невыразимые.
В соответствии с теоремой Гёделя для порождения всех истинных высказываний о целых числах нужно бесконечно много новых идей. Следовательно, чисто дедуктивные средства имеют ограниченные возможности. Как указывает академик П.С.Новиков, результат Гёделя еще сильнее, поскольку им были указаны приемы построения неразрешимых проблем в любой аксиоматической теории.
Каковы следствия теоремы Гёделя для теории познания? Как уже говорилось, успехи математизированных областей знания приводили многих глубоких мыслителей к надежде на существование нескольких фундаментальных законов, из которых все остальные истины могут быть выведены чисто теоретически. После работы Гёделя, как отметил профессор Ю.И.Манин, «мы можем быть уверены в беспочвенности таких надежд». Уж если нельзя чисто дедуктивно получить все свойства целых чисел, то и подавно нельзя получить чисто дедуктивно все свойства решений дифференциальных, операторных и других уравнений физики, записанных для систем, уровень сложности которых соответствует химической, геологической, биологической или какой-либо другой форме движения материи.
Для любой области знания, как только она дорастает до уровня формализованной аксиоматической теории, может быть указан способ построения неразрешимых в ее рамках проблем. Поэтому, если кто-то утверждает, что такая-то область науки в принципе сводится к квантовой механике или квантовой теории поля, то этому человеку можно поверить, только если будут представлены математически строгие доказательства. Что же показывают исследования последних лет?
Химия не сводится к квантовой механике
Рассмотрим какое-нибудь простейшее из нефизических явлений, например химическую реакцию между газообразными веществами. Скорость такой реакции описывается законом действующих масс. А этот закон дедуктивно выводится из знаменитого кинетического уравнения Больцмана.
Для того чтобы доказать сводимость химических законов газообразного состояния к законам квантовой механики, необходимо дедуктивно вывести уравнение Больцмана из квантовой механики. На выполнение этой программы потребовалось почти 100 лет. Лишь в 1949г. академику Н.Н.Боголюбову удалось построить цепочку уравнений, связывающую Ньютонову механику с классическим уравнением Больцмана. Аналогичная цепочка уравнений, связывающая уравнение Шрёдингера с квантовым уравнением Больцмана, была построена несколькими годами позднее — это сделали по боголюбовской методике сразу несколько групп теоретиков.
Что же показывает анализ цепочек Боголюбова? Оказывается, из одной только механики (Ньютона или Шрёдингера) никак не удается получить уравнение Больцмана. Чтобы оборвать цепочку Боголюбова и оставить в ней лишь первое уравнение — уравнение Больцмана, необходимо еще привлечь некоторые немеханические предположения о начальном состоянии системы. Вспомним Лапласа: «Дайте мне все начальные условия. » Вот в недооценке роли начальных и граничных условий и кроется причина иллюзий сторонников «физического фундаментализма».
Применяя язык кибернетики, можно сказать, что уравнения типа Больцмана описывают перераспределение некоторого ресурса между агрегатами соответствующей природы. Конкретная природа взаимодействующих частиц сказывается лишь на характере констант скорости или эффективных сечений (вероятностей) тех или иных взаимодействий.
Константы скорости химических реакций можно в принципе дедуктивно вычислять из свойств электронов и атомных ядер с помощью законов квантовой механики. Ну а сечение реакции для не очень сложных молекул квантовая механика позволяет вычислять по крайней мере в принципе.
Далее, эффективные сечения слипания капелек воды, по-видимому, можно дедуктивно вычислять из свойств молекул с помощью законов статистической физики, а коэффициенты прожорливости микроорганизмов, возможно, дедуктивно выводимы из свойств биополимеров с помощью законов химии. В этом-то смысле и можно говорить, что квантовая механика более фундаментальна, чем химия, а химия более фундаментальна, чем биология. Но глубоко ошибочно утверждать на основании этого, что биология целиком сводится к химии, а химия — к математическим задачам квантовой механики, ибо химия, биология отнюдь не могут быть полностью выражены одними только константами скорости, сечениями или другими, как принято выражаться, феноменологическими коэффициентами.
Наиболее глубокие, нетривиальные истины в химии, геологии, биологии, общественных науках выражаются теми или иными соотношениями и уравнениями, сам вид которых не следует из «более фундаментальных» областей знания. Для не очень сложных случаев из более фундаментальной теории могут быть в принципе дедуктивно получены только феноменологические коэффициенты менее фундаментальной теории. Более того, ‘ниже будет показано, что для систем, уровень сложности которых превышает некоторый минимальный, оказывается невозможным и дедуктивное выведение феноменологических коэффициентов.
Помимо теоремы Гёделя и работ Боголюбова можно привести еще одно математизированное доказательство принципиальной невозможности вывести дедуктивно из квантовых законов все остальные законы природы. Предположим, что мы намерены чисто теоретически рассчитать полную картину движения некоторого набора частиц, взаимодействующих между собой. Возникает вопрос, сколько времени и сколько бумаги (или машинной памяти) нужно израсходовать для такого расчета? Материальные затраты на расчет тем больше, чем больше частиц в наборе. Но нет ли какого-нибудь принципиального ограничения на материальные затраты и на продолжительность счета? Оказывается, есть. По современным данным в видимой части Вселенной содержится не более 1090 атомов, а время существования Вселенной в той форме, в которой мы ее наблюдаем, равно 1018 с. Таким образом, если даже всю Вселенную превратить в электронно-счетную машину, делающую 1 операцию за 10-17 с (столько времени требуется электрическому току, чтобы преодолеть расстояние, равное диаметру атома), то машина сделает за все время существования Вселенной не более 10125 операций, или будет иметь не более 10125 ячеек памяти. Но такой памяти не хватит уже на то, чтобы записать с приемлемой точностью квантовомеханическую волновую функцию системы, состоящей из 1000 частиц. Правда, можно с самого начала не пытаться решать абсолютно точно уравнение Шрёдингера, а перейти к менее детализированному описанию. Однако и здесь при числе частиц больше 10 000 число уравнений становится больше числа атомов во Вселенной.
Итак, 10000 — это та критическая величина набора частиц, при превышении которой строгие и полные дедуктивные вычисления становятся невозможными по той причине, что не хватит атомов во Вселенной для ячеек памяти счетной машины. Химические же, геологические, биологические и социальные явления как раз протекают в системах, содержащих гораздо больше, чем 10000 атомов. Но если принципиально нет возможности произвести полный дедуктивный анализ достаточно многочисленной системы атомов, то нет и никаких доказательств того, что все стороны поведения такой системы атомов могут быть выведены из законов, которыми управляется движение отдельных частиц.
Итак, химическая кинетика содержит фундаментальный закон действующих масс, эквивалентный предположению Больцмана о молекулярном хаосе или предположению Боголюбова о начальных условиях. Дальнейшее выяснение того, что более фундаментально — закон действующих масс, предположение Больцмана или предположение Боголюбова, уже не имеет большого смысла, поскольку согласно математической логике та или иная формализованная логическая система характеризуется, помимо прочего, числом независимых аксиом, а не тем, какое конкретно утверждение принято за аксиому, а какое — за теорему. Любую из теорем можно объявить аксиомой — просто тогда одна из прежних аксиом станет теоремой, все дело в удобстве, логичности и т. п.
Таким образом, простейшая область химии — кинетика газофазных реакций — представляет собой логическую систему всей квантовой механики плюс еще что-то, принципиально к квантовой механике не сводящееся. Это «что-то», во-первых, термин «концентрация», во-вторых, некоторая аксиома типа закона действующих масс и затем бесчисленное множество новых определений, построений и теорем, которые появляются благодаря упомянутым добавкам к логической системе квантовой механики.
Интересно, что в 1933 г. академик Н.Н.Семенов все в том же простейшем случае газофазных химических реакций выявил еще одну универсальную закономерность, не вытекающую из физики и не эквивалентную закону действующих масс.
Прежде чем излагать идеи этой работы, договоримся о терминологии. Под механическим явлением, независимо от того, Ньютонова или квантовая механика имеется в виду, подразумевается такое явление, которое можно в принципе математически строго и полностью описать формально-логическим аппаратом соответствующей механики.
Так вот, Н.Н.Семенов обратил внимание на то, что, в отличие от механических систем, временная эволюция газа, в котором протекает химический процесс, в каждый данный момент времени существенно зависит от «истории» процесса. Конечно, в некотором смысле от своей истории зависит и чисто механический процесс. Одно и то же состояние механической системы может получаться разными путями. Но если уж данное состояние получилось, то дальнейшая судьба системы однозначно определяется этим состоянием и не зависит от предыдущих состояний.
При детализированном описании оказывается, что «качество» реагирующих веществ в смысле их реакционноспособности меняется во времени по мере протекания реакции, а потому концентрации, взятые без их истории, не определяют скорости процесса. Семенов дал три эквивалентные формулировки найденного фундаментального закона, но с точки зрения математической логики это разные выражения одной и той же аксиомы, которой помимо закона действующих масс надо пополнить логическую систему квантовой механики, чтобы получить химию.
Н.Н.Семенов отмечает, что, если химически реагирующую систему описывать непосредственно уравнениями второго закона Ньютона или уравнением движения Гамильтона, то, казалось бы, временную эволюцию химической системы, начиная с любого момента времени, удастся-таки предсказать без знания истории системы. Но не надо забывать, что химическая система — это 1015, 1020, 1025. атомов, т.е. гораздо больше 10000, а потому, как уже показано, полные и строгие вычисления здесь оказываются принципиально невозможные.
Настоящий математик скажет, что результат Н. Н. Семенова получен на «химическом уровне строгости». Что ж, возможно, понадобятся десятилетия работы многих исследователей, чтобы доказательство фундаментальности (т. е. несводимости к квантовой механике) выявленной Семеновым закономерности достигло строгости теоремы Гёделя. Но вряд ли будет отвергнут сам факт того, что химическая кинетика отличается от механики не только наличием фундаментального закона действующих масс, но по крайней мере еще одним фундаментальным законом зависимости химического процесса от истории системы.
Вообще поиски фундаментальных законов не только в химии, но и в близкой области неравновесной термодинамики ведутся до сих пор и далеко еще не закончены. Например, в неравновесной термодинамике известна так называемая флуктуационно-диссипационная теорема, позволяющая вычислять флуктуации в системе, приближающейся к равновесию. Долгое время считалось, что эта важная теорема не содержит ничего принципиально нового по сравнению с механикой, так как является в конечном счете следствием очевидного условия причинности
где R — случайная сила, действующая на частицу; V(0) — случайная скорость частицы в момент времени t=0; скобки означают усреднение, а нуль в правой части равенства выражает, казалось бы, очевидный факт отсутствия корреляций между случайной силой в данный момент времени t>0 и случайной скоростью частицы в предшествующий момент времени t=0.
И вот совсем недавно, в 1978 году, физик-теоретик Б. Фельдергоф математически строго показал, что флуктуационная теорема не может быть выведена из каких-либо более фундаментальных принципов и, следовательно, является вовсе не теоремой, а аксиомой, то есть некоторым фундаментальным принципом, которым статистическая механика системы многих частиц отличается от Ньютоновой или квантовой механики той же системы частиц.
Таким образом, если в работе Фельдергофа не содержится какой-либо скрытой ошибки, это означает, что неравновесный газ, даже при отсутствии в нем химических превращений, может быть полностью описан лишь в том случае, если квантовую механику пополнить, помимо аксиомы о молекулярном хаосе (по Больцману), еще второй аксиомой, эквивалентной нынешней флуктуационно-диссипационной «теореме».
Число еще не открытых фунжаментальных законов бесконечно
Итак, тезис о несводимости к квантовой механике высших форм движения материи (начиная с химии) имеет несколько математически строгих доказательств, так что можно быть уверенным, что фундаментальные законы имеются не только в квантовой теории. Интересно, а каково число фундаментальных законов в природе? Может быть, действительно, на наших глазах физики вылавливают в микромире последние из еще неизвестных фундаментальных законов природы, поскольку в других областях, можно думать, фундаментальные законы давно открыты (закон действующих масс — в химии, закон борьбы за существование — в биологии, законы стоимости и классовой борьбы — в общественных науках и т. д.). На основании теоремы Гёделя можно утверждать, что число фундаментальных законов природы бесконечно, и в этом смысле наши потомки никогда не останутся без интересной и захватывающей исследовательской работы.
Наука в современном смысле существует всего около 300 лет. Это ничтожный отрезок времени по сравнению с теми миллионами лет, которые, надо надеяться, удастся прожить человечеству. Понятно поэтому, что во всех областях знания сделано очень мало, и далеко не ясно, какие из известных законов химии, геологии, биологии и т. д. являются фундаментальными, а какие нет. В химии, например, фундаментальный характер носят само явление химического элемента, закон действующих масс, явление катализа и т. д. Свои фундаментальные законы должны быть в геологии, ибо геология — это химия плюс еще что-то. И еще больше фундаментальных законов должно быть в биологии, ибо биология является комплексом наук об очень разнородных явлениях живой природы: биохимия клетки — это одно, физиология организма и медицина — совсем другое, популяционная динамика — совсем нечто новое, а мыслящий мозг — вообще что-то из ряда вон выходящее. Содержит ли каждая из этих подобластей биологии свои фундаментальные законы? Несомненно. Так, законы популяционной динамики нечувствительны к конкретному строению и физиологии составляющих популяцию индивидов, но это и означает, что популяция имеет некоторые новые системные свойства, принципиально не выводимые из свойств индивидов (не будем, впрочем, забывать, что свойства индивидов определяют феноменологические коэффициенты тех или иных математических уравнений, описывающих поведение популяции).
Продолжим рассмотрение. Законы физиологии, например, млекопитающих нечувствительны к конкретному строению белков и других биополимеров, т.е. организм — это не просто сосуд с набором биохимических реакций, а еще что-то принципиально новое, а именно некоторая система. Наконец, само явление жизни нечувствительно к конкретным химическим свойствам углерода, кислорода и т. д., ибо никем еще не доказано, что жизнь может существовать только на основе углерода и воды, а не на основе кремния и фтористого водорода, и притом именно на тех 20 аминокислотах и 4 пуриновых основаниях, которые почему-то распространены на планете Земля. Что же касается мыслящего мозга, то достижения кибернетики позволяют утверждать, -что носителем мышления вовсе не обязан быть мозг млекопитающего, а может быть электронная схема соответствующей сложности, т. е. опять получаем нечувствительность мыслящей системы к конкретному строению своей основы. От природы основы существенно зависят лишь соответствующие феноменологические коэффициенты, так что, например, электронный мозг, если он будет создан, будет мыслить в миллионы и миллиарды раз быстрее мозга млекопитающего, а питаться будет электроэнергией, а не глюкозой. При образовании популяции из особей, организма из клеток, живых клеток из атомов важны какие-то системные отношения, не зависящие от деталей строения и конкретных свойств составных частей.
Анализ различных уровней организации материи показывает, что чем выше форма движения материи, тем больше фундаментальных законов она содержит. Вытекающее из теоремы Гёделя следствие о бесконечности числа фундаментальных законов, по-видимому, и реализуется путем лавинообразного нарастания числа фундаментальных законов с ростом организации вещества. Недаром столь сильное впечатление произвели в конце 40-х — начале 50-х годов законы кибернетики, открытые Н.Винером, У.Р.Эшби, А.Н.Колмогоровым. Законы кибернетики, иначе законы передачи — приема и хранения информации, явно нетривиальны и не вытекают из законов микрофизики. Это и понятно, ибо передача и хранение информации возможны только в системах с памятью, а у элементарных частиц, ядер и атомов памяти быть не может в силу квантового закона неразличимости микрочастиц. Лишь при определенных начальных и граничных условиях достаточно большие коллективы атомов образуют кристаллические или макромолекулярные системы, способные хранить информацию. Ну а о том, что начальные условия ни из какой механики не вытекают, мы уже говорили выше.
Приведем в качестве примера систему телевизор — передатчик. Эта система нечувствительна к конкретной природе своих составных элементов. Телевизор можно сделать и на механическом диске Нипкова, и на баллонных лампах, и на транзисторах, и на микромодулях. Это означает, что какие-то коренные свойства системы телевизор — передатчик невыводимы дедуктивно из законов физики твердого тела (и тем более из квантовой механики). Нужно еще что-то. Это «что-то» и описывает кибернетика.
Критерий нечувствительности более высокой формы движения материи к конкретной природе своих микроскопических составляющих, видимо, может служить средством выявления новых фундаментальных законов в тех или иных явлениях.
Не может быть и речи о том, чтобы законы экономики сводились к физике твердого тела или к химии тех материалов, из которых человеческое общество делает товары. То есть опять мы сталкиваемся с критерием нечувствительности более высокой формы движения материи к природе своих «микроскопических составляющих». (Напомним только такой показательный факт — роль денег в том или ином обществе могут исполнять и золото, и серебро, и соль, и зубы акулы и т. д.) Ученый мир интуитивно прекрасно чувствует фундаментальность открытий в любой области науки, не случайно за создание математической экономики В.Леонтьеву и Л.В.Канторовичу были присуждены Нобелевские премии.
Похвальное слово физике
Одно из нежелательных последствий необоснованной веры в отсутствие фундаментальных законов где-либо, кроме микрофизики, состоит в том, что талантливые молодые люди, желающие посвятить свою жизнь большому и непреходящему делу, устремляются в физику, и особенно в микрофизику. В результате этого, с одной стороны, оказываются обедненными талантами прочие науки, как история, психология, биология, химия и т. д., с другой стороны, в физике и микрофизике наблюдается «давка» талантливых и энергичных исследователей, вызванная тем, что число физических институтов не может расти бесконечно.
При чтении статей Эйнштейна, Гейзенберга, Фейнмана и других выдающихся физиков не надо забывать, что все это писали люди, искренне и беспредельно преданные своему чрезвычайно интересному и важному делу — прокладыванию новых путей в микрофизике. Отсюда легко понять психологическую причину недооценки этими исследователями фундаментальности других областей знания.
Но не следует забывать, что методология современной и теоретической, и экспериментальной физики, ее математический дух могут служить образцом для всех наук. Показательно, что в последние 50 лет выдающихся успехов в химии, биологии, истории, социологии, математической экономике добились именно исследователи, пришедшие туда из физики или математики. В наше время не стоит рассчитывать на открытие новых фундаментальных законов природы без творческого использования математики, без владения современными физическими знаниями и методами.
Что можно прочесть о затронутых в статье проблемах
1. Н.Семенов. К вопросу о соотношении между физическими и химическими процессами.— Природа, 1978, № 2, с. 64.
2. Р.П.Поплавский. Термодинамика информационных процессов. М., «Наука», 1981.
3. Ю.И.Манин. Теорема Гёделя.— Природа, 1975, № 12, с. 80.
4. Г.А.Скоробогатов. Где искать фундаментальные законы природы.— В сб.: На перекрестках химии. Л., изд-во ЛГУ, 1980,
5. С.В.Мейен. Проблема редукционизма в биологии.— В кн.: Диалектика развития вприроде и научном познании. М., «Наука», 1978, с. 135—169.
www.integro.ru