Все формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

a, b — стороны параллелограмма

α , β — углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):

Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

H b высота на сторону b

H a высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, ( S ):

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

D — большая диагональ

d —меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , ( S ):

Формулы для параллелограмма:

www-formula.ru

Параллелограмм, его признаки и свойства

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теоремы (свойства параллелограмма):

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: , , ,.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: , .

Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны .

Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: .

Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона.

Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника . Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

www.fmclass.ru

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четывре раза больше площади треугольника BOC.

Ответы и объяснения

  • Hrisula
  • главный мозг

Вспомните, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Площади обраовавшихся треугольников равны. См. вложение

  • Комментарии
  • Отметить нарушение
  • Диагонали параллелограмма делятся при пересечении пополам.

    Без проблем можно доказать, что тр-к АВО = тр-ку СОD, а тр-к ВОС=тр-ку АОD по двум сторонам и углу между ними. Рассмотрим тр-к АОВ и ВОС, площадь тр-ка равна половине произведения основания на высоту. Основания этих тр-ков равны, а высота общая. Значит их площади равны. Из выше сказанного следует, что площади всех четырех труугольников равны между собой. Т.е. площадь параллелограмма в 4 раза больше площади тр-ка.

    znanija.com

    Разработка открытого урока по теме : » Площадь параллелограмма» 8 класс

    Документы в архиве:

    Название документа Разработка урока площадь параллелограмма.docx

    Тема урока: Площадь параллелограмма.

    Вывести формулу для нахождения площади параллелограмма; рассмотреть задачи с её применением.

    Повторить свойства площадей фигур; формулы площади прямоугольника и квадрата;

    Методы организации учебно-познавательной деятельности: практические (закрепление практических умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий), словесные , метод проектов . Соответственно содержанию урока и особенностям класса выбраны формы обучения: общеклассная (на этапе усвоения нового материала ведётся работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса), индивидуальная и групповая (учащиеся работают самостоятельно и в группах).

    Оборудование: компьютер с использованием мультимедийной презентации Power Point .

    Организационный момент: Постановка целей урока.

    Учитель: — Тема сегодняшнего урока «Площадь параллелограмма». Так какова же цель нашего урока? Учащиеся: «Вывести площадь параллелограмма». Сегодня на уроке мы продолжаем разговор о нахождении площадей многоугольников. Мы повторим известные нам свойства площадей, изученные формулы площадей некоторых видов многоугольников, применение их при решении задач. Продолжим исследование одного из видов многоугольников с целью вычисления его площади, работая в группах. Учащимся раздаются оценочные карты, где прописаны все критерии урока. По ходу урока ребятам предлагается выставлять себе заработанные баллы, а в конце урока подвести итог. Баллы выставляются только за правильный ответ или решение. Ответы на вопросы 0,5 балла; исправления, дополнения 0,5 балла; устное решение задач 1 балл; работа в группах от 1 до 5 баллов; защита проекта 1 балл; решение задач по теме 1 балл; решение задач по вариантам 2 балла. «5» — 18-20 баллов, «4» — 13-17 баллов, «3» — 10-12 баллов.

    Актуализация опорных знаний.

    Этот этап проводится с помощью презентации.

    — Повторим основные свойства площадей многоугольников, ответив на следующий вопрос: какие свойства геометрических фигур иллюстрируют следующие рисунки.

    — Сформулируйте правила вычисления площадей квадрата и прямоугольника.

    Равные фигуры имеют равные площади.

    1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

    2. Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон.

    Слайд 14-16. По щелчку начинается демонстрация свойства, Прослушав ответ учащегося, по щелчку вызвать на экран формулу, выражающую свойство или словесную формулировку. По гиперссылке вернуться на слайд 2.

    После ответа на вопрос 1, по щелчку на экран выводится вопрос 2, а затем выводятся формулы для вычисления площадей названных многоугольников.

    Проверка домашнего задания.

    В ходе изучения свойств площадей многоугольников учащиеся выполняли практические задания по “перекраиванию” различных фигур. Эта работа проводилась в классе и дома. Учащимся предлагалось продемонстрировать результаты на вырезанных моделях. Перед началом данного урока учитель проверяет выполненные задания, а в процессе урока, используя анимационные возможности презентации, демонстрирует возможные “перекраивания” фигур. Это позволяет привлечь учащихся к совместной работе, помогает пробудить интерес к изучению темы. В процессе демонстрации слайдов повторяется одно из важных понятий: равновеликие фигуры ( слайд 3). При демонстрации некоторых “перекраиваний” можно обосновать полученный результат, это позволит вспомнить некоторые свойства многоугольников

    Давайте посмотрим некоторые из возможных “перекраиваний” одних многоугольников в другие, которые вы выполняли к сегодняшнему уроку.

    Вопросы: 1) Что сохранилось у прямоугольника и треугольника?

    Дайте определение равновеликих фигур.

    Учащиеся наблюдают за “перекраиванием” прямоугольника в равнобедренный треугольник, делая необходимые пояснения.

    Ответ: равновеликие фигуры.

    Ответ: фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

    Слайд 3. По щелчку появляется прямоугольник. По щелчку он делится на две равные части. Далее по щелчку происходит непрерывное перемещение частей прямоугольника и построение из них равнобедренного треугольника.

    По щелчку появляются вопросы. Затем по щелчку высвечивается понятие “равновеликие фигуры”.

    Учащиеся выполняют задания устно или полуустно (могут воспользоваться листком черновика для промежуточных записей и вычислений)

    Рассмотрим устные задачи на применение сформулированных свойств и формул площадей.

    1. Определите, какую часть площади равностороннего треугольника занимает площадь треугольника МРК.

    Определите, какую часть площади всего треугольника составляет закрашенная фигура.

    2. Решите следующие задачи, для вычислений используйте листочки черновика.

    Учащиеся рассуждениями и обоснованиями приходят к ответу: площади всего треугольника.

    Учащиеся без обоснований дают правильные ответы: и .

    1) Стороны прямоугольника 2 см и 4,5 см. Чему равна сторона равновеликого квадрата?

    2) Вычислите площадь прямоугольника со сторонами 15 и 5м.

    3) Задача по готовому чертежу

    По щелчку появляется условие задачи и рисунок. После обсуждения задачи полученный ответ высвечивается на месте ? по щелчку. Далее по щелчку появляются еще два рисунка.

    После обсуждения задачи по щелчку на экран выводятся ответы. Задачи появляются на экране последовательно, переход от одной задачи к другой осуществляется по щелчку.

    Гимнастика для глаз (1,5 – 2 мин)

    Далее идет переход к основному этапу урока: выводу формулы площади параллелограмма .

    Изучение нового материала.

    Рассаживаю ребят по группам (4-5 человек). Каждой группе раздаю параллелограммы, вырезанные из цветного картона, листы А4, клей и ножницы у ребят имеются.. Перед учащимися ставится проблемный вопрос: Можно ли найти площадь параллелограмма, используя формулу для вычисления площади прямоугольника S = ab ?. Материал, рассмотренный на предыдущих этапах урока, позволяет привести учащихся к мысли, что надо параллелограмм “перекроить” в другую фигуру, площадь которой они умеют вычислять. Решение поставленной задачи проводится совместными исследованиями учащихся в группах, они «перекраивают» параллелограмм в прямоугольник и делают соответствующие выводы. Приклеивают результат своей работы на лист А4, ниже записывают формулу для вычисления параллелограмма. Далее, если все готовы, работы вывешиваются на доску, кандидат от каждой группы защищает проект. В ходе обсуждения намечаются равенства и формулы, которые затем будут использованы при доказательстве теоремы о площади параллелограмма.

    Проводят высоту в параллелограмме, разрезают по высоте и отрезанный треугольник приклеивают к другой стороне параллелограмма, затем «Перекроив» параллелограмм в прямоугольник, делают вывод, что

    они равновелики по разложению, значит, их площади равны.

    Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами.

    S прямоугольника = произведению длин смежных сторон. А так как сторона прямоугольника равна высоте параллелограмма, то отсюда следует вывод:

    S параллелограмма = произведению стороны на высоту к ней проведённую.

    Какой вывод мы можем сделать из проведенного исследования, как же найти площадь параллелограмма АВСD?

    Сторону АD параллелограмма иногда называют основанием.

    А если в качестве основания взять сторону СD и провести к ней высоту ВК, то как мы найдем площадь параллелограмма?

    Таким образом, как мы можем сформулировать правило нахождения площади параллелограмма?

    Сформулированное нами правило мы докажем с вами как теорему.

    Площадь можно найти умножив длину СD на длину ВК.

    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

    Можно вызвать одного из сильных учеников для изложения теоремы.

    Как и в предыдущем слайде все действия производятся по щелчку в соответствии с вопросами, обсуждаемыми с учащимися.

    7.Закрепление полученных знаний. Самостоятельная работа в парах по решению задач с использованием подсказок и последующей проверкой или самопроверкой.

    Закрепление полученной формулы проводится при выполнении простейших устных задач и задачи из учебника № 464(в). Предварительно записываем формулы площади параллелограмма в других обозначениях, применяемых при решении задач (слайд 10). Затем учащимся предлагается работа по вариантам на применение изученной формулы. Текст задач выдается каждому в печатном виде, а также выводится на экран (слайд 11) . Учитель контролирует работу, определяя степень усвоения изученной формулы и использования известных свойств многоугольников. Через определенное время краткое решение задач проверяется, используя слайд 12. Учащиеся делают самопроверку.

    При нахождении площади параллело-граммма часто используются другие обозначения для стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

    Рассмотрим параллелограмм с основанием а и высотой h a , прове-денной к нему. Запишите формулу.

    Выберем в качестве основания сторону b и высоту h b . Тогда формула выглядит …

    Рассмотрим устные задания:

    1) Найдите S, если а =15 см, h a =12 см.

    2) Пусть S = 34 см 2 , h b = 8,5 см, найдите b .

    Выполните письменно в тетрадях № 464 (в). Каковы длины высот параллелограмма?

    А теперь работа по вариантам, попробуйте решить следующие задачи, если решение вам покажется трудным, воспользуйтесь подсказками.

    Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а угол между ними 150 0 . Найдите площадь этого параллелограмма.

    Учащиеся самостоятельно работают.

    Решение задач проверяются и обсуждаются совместно с учителем.

    Через короткое время вывести на экран краткую запись условия для проверки и, используя формулы слайда, записать в новых обозначениях.

    Слайд содержит анимацию, позволяющую отразить некоторые подсказки, которые могут использовать учащиеся, краткие записи решений и ответы к задачам.

    8. Подведение итогов. Постановка домашнего задания.

    Итоги урока подводятся с опорой на три основных вопроса, последовательно выводимых на экран (слайд 13). Затем проводится самооценивание учащимися своей работы на уроке, ими подводятся итоги в оценочной карте, выставляются оценки за урок, карты сдаются. Предлагается домашнее задание.

    Подведем итоги нашего урока.

    1. Достигли мы поставленной цели?

    2. Какой главный итог нашего урока?

    3. Что мы использовали для достижения цели урока?

    Запишите домашнее задание.

    Благодарю всех за урок. Молодцы.

    Да, мы узнали новую формулу для вычисления площади параллелограмма.

    Исследовали и доказали способ отыскания площади любого параллелограмма по известным значениям стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

    Известные нам свойства площадей многоугольников, формулу площади прямоугольника.

    п.51, теорема о площади параллелограмма,

    № 459(в, г); 460; 461(а); 462

    Слайд содержит вопросы для подведения итогов урока, которые по щелчку появляются на экране, также на экране появляется домашнее задание. Слайд содержит две гиперссылки: “завершение” — по ней мы попадаем на завершающий слайд 17.

    Название документа площадь пар-ма.ppt

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Урок геометрии в 8 классе по теме «Площадь параллелограмма» Разработан учителем математики Наумовой Натальей Анатольевной

    1. Какие свойства площадей геометрических фигур иллюстрируют следующие рисунки. Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 2. Как вычислить площади квадрата и прямоугольника. Sкв = а2 Sпрям = ab Актуализация знаний учащихся

    Проверка домашнего задания Равновеликие фигуры 1. «Перекроите» прямоугольник в равнобедренный треугольник. Что сохранилось у прямоугольника и треугольника? Как называются такие фигуры?

    А Точки М, Р и К – середины сторон равностороннего ∆АВС ? часть площади ? часть площади Устная работа 1.

    2. Решите задачи: 1) Стороны прямоугольника 2 см и 4,5 см. Чему равна сторона равновеликого квадрата? 2) Вычислите площадь прямоугольника со сторонами 15 и 5м. А В С D K O S∆AKD = 18 см2 Найдите SABCD. 3) 3 см 75 м2 18 см 2

    Тема урока: Площадь параллелограмма

    Как же найти площадь параллелограмма? A B C D H AD – сторона параллелограмма (основание) ВН — высота Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. К или CD –основание, ВК — высота SАВСD = AD · BH SАВСD = CD · BK

    Вывод формулы площади параллелограмма. Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны параллелограмма на высоту, проведенную к этой стороне. A B C D H Дано: АВСD – параллелограмм, ВН – высота Доказать: SABCD = AD · BH Доказательство: проведем еще одну высоту параллелограмма – отрезок СК и рассмотрим треугольники АВН и DСК. K Они прямоугольные и равны по гипотенузе и катету (гипотенузы АВ и СD равны как противоположные стороны параллелограмма, катеты ВН и СК равны как расстояния между параллельными прямыми). Значит, площади треугольников равны. SABCD=SABH+SHBCD SHBCK = SHBCD+SDCK , SABH=SDCK SABCD=SHBCK SHBCK = HK · BH, так как НВСК – прямоугольник; так как AD = BC = HK, то SABCD = HK · BH = AD · BH . Итак, SABCD = AD · BH . Теорема доказана.

    Sпарал.=а·ha Sпарал.=b·hb Устно: 1) Найдите S, если а = 15 см, ha = 12 см. 2) Пусть S = 34 см2, hb = 8,5 см, найдите b. № 464(в) Дано: S = 54 см2, а = 4,5 см, b = 6 cм. Найти: h1 и h2 . Решение: S = a∙h1 или S = b∙h2 b hb

    1 вариант Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а угол между ними 150º. Найдите площадь этого параллелограмма. 2 вариант Острый угол параллелограмма равен 30º, а высоты, проведенные из вершины тупого угла равны 4 см и 3 см. Найдите площадь этого параллелограмма.

    А В С D 150º 10 cм 6 cм В С D 30º 3 cм 4 cм А К М Н S = AD ∙ BH AD = 10 cм, ВН = 3 см S = 30 cм2 S = CD ∙ BM BM = 3 cм, CD = AB = 8 cм S = 24 cм2

    Итоги урока 1. Достигли мы поставленной цели? 2. Какой главный итог нашего урока? 3. Что мы использовали для достижения цели урока? Домашнее задание: п.51, теорема о площади параллелограмма, № 459(в, г); 460; 461(а); 462

    3 мм 3 мм 2 см 2 см 5 дм 5 дм Площадь квадрата равна квадрату его стороны 9 мм2 4 см2 25 дм2

    Чтобы скачать материал, введите свой E-mail, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

    Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас E-mail-рассылку

    Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз «Скачать материал».

  • Математика
  • Работаю над темой самообразования «Развитие самостоятельной активности учащихся на уроках математики». Использую проектную деятьльность на уроке.

    Разработка представляет собой мини — проект. Дети самостоятельно выводят площадь параллелограмма.

    В ходе изучения свойств площадей многоугольников учащиеся выполняли практические задания по “перекраиванию” различных фигур. Эта работа проводилась в классе и дома. Учащимся предлагалось продемонстрировать результаты на вырезанных моделях. Перед началом данного урока я проверяю выполненные задания, а в процессе урока, используя анимационные возможности презентации, демонстрирую возможные “перекраивания” фигур. Это позволяет привлечь учащихся к совместной работе, помогает пробудить интерес к изучению темы. В процессе демонстрации слайдов повторяется одно из важных понятий: равновеликие фигуры. При демонстрации некоторых “перекраиваний” можно обосновать полученный результат, это позволяет вспомнить некоторые свойства многоугольников.

    На предыдущих уроках ребята изучили формулу для нахождения площади прямоугольника. Поэтому этот урок я решила провести немного иначе, используя метод проектов, дав учащимся возможность, работая в группах, самостоятельно вывести формулу для вычисления площади параллелограмма. В начале урока, учащимся выдаю оценочные листы с критериями оценивания. Поэтому ребята могут самостоятельно оценить свою работу на уроке, в группе и работу всей группы, а также защиту своего проекта и вывести общий балл за урок. На данном уроке я не объясняю новый материал, а только направляю исследовательскую деятельность учащихся, их познавательный процесс. Я раздала учащимся параллелограммы, вырезанные из цветного картона, листы А4, а клей, ножницы и маркеры они приготовили заранее. Проблема была поставлена перед ребятами в виде вопроса : Можно ли найти площадь параллелограмма, используя формулу для вычисления площади прямоугольника S = ab ?. Материал, рассмотренный на предыдущих этапах урока, позволяет привести учащихся к мысли, что надо параллелограмм “перекроить” в другую фигуру, площадь которой они умеют вычислять. Решение поставленной задачи проводится совместными исследованиями учащихся в группах, они «перекраивают» параллелограмм в прямоугольник и делают соответствующие выводы. Приклеивают результат своей работы на лист А4, ниже записывают формулу для вычисления параллелограмма. Далее, если все готовы, работы вывешиваются на доску, кандидат от каждой группы защищает проект. В ходе обсуждения намечаются равенства и формулы, которые затем будут использованы при доказательстве теоремы о площади параллелограмма: Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

    www.metod-kopilka.ru

    Урок по теме «Площадь параллелограмма»

    Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

    Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

    Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

    Выбранный для просмотра документ Задачи для групп.docx

    ДЛЯ 2 ГРУППЫ.

    В параллелограмме АВС D диагональ АС равна 14 см, сторона А D равна 8, 1см, а угол СА D равен 30 0 . Найдите площадь параллелограмма.

    Острый угол параллелограмма равен 30 0 , а высоты, проведенные из вершины тупого угла равны 4 см и 3 см. Найдите площадь этого параллелограмма.

    Выбранный для просмотра документ Открытый урок.docx

    Урок геометрии в 8-м классе по теме «Площадь параллелограмма»

    Образовательные цели урока соответствуют месту урока в системе уроков по изучаемой теме и направлены на усвоение и закрепление навыка вычисления площадей многоугольников, устранение пробелов в знаниях учащихся по данной теме.

    Развивающие цели данного урока направлены как на общее развитие ученика, так и на развитие у учащихся аналитико-синтезирующего, абстрактного мышления, развитие умений применять знания в различных ситуациях, развитие умений самостоятельной работы.

    Воспитательные цели данного урока направлены на формирование положительной мотивации учения, созданию “ситуации успеха” на данном уроке.

    Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала отобраны методы и приёмы обучения.

    1. Методы проблемного обучения : эвристический метод (постановка проблемы и организация совместной поисковой деятельности по её разрешению).

    2. Методы организации учебно-познавательной деятельности: практические (закрепление практических умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий), словесные . Соответственно содержанию урока и особенностям класса выбраны формы обучения: общеклассная (на этапе изучения нового материала ведётся работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса), индивидуальная и групповая (учащиеся работают самостоятельно, в парах или группах).

    Повторить свойства площадей фигур; формулы площади прямоугольника и квадрата; вывести формулу для нахождения площади параллелограмма; рассмотреть задачи с её применением.

    Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность.

    Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата, умение работать в коллективе; воспитывать в учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.

    Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с текстами вывода формулы площади параллелограмма. Урок проводится с использованием мультимедийной презентации Power Point.

    Дети сидят в группах по уровню знаний геометрического материала. (3 группы)

    Постановка целей урока. Учитель: — Сегодня на уроке мы продолжаем разговор о нахождении площадей многоугольников. Повторим известные нам свойства площадей, изученные формулы площадей некоторых видов многоугольников, применение их при решении задач. Продолжим исследование одного из видов многоугольников, а в частности параллелограмма, с целью вычисления его площади.

    Актуализация опорных знаний и проверка домашнего задания .

    (Этот этап проводится с помощью презентации.)

    — В то время, как мы с классом будем работать фронтально, я прошу от каждой группы по одному человеку для работы у доски по индивидуальным карточкам.

    — Давайте повторим основные свойства площадей многоугольников. Посмотрите на картинку слайда: какие свойства геометрических фигур иллюстрируют следующие рисунки?

    — Сформулируйте правила вычисления площади прямоугольника.

    — На какие теоремы, определения и свойства мы опирались при доказательстве теоремы о площади прямоугольника?

    — Вам предлагается решить задачу.

    — Итак, я думаю, что работающие у доски уже готовы к ответу.

    1 группа – 1 уровень

    2 группа – 2 уровень

    3 группа – 2 уровень

    Учащиеся после просмотра очередного рисунка формулируют свойство:

    Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

    Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

    Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

    При доказательстве теоремы мы опирались на формулу площади квадрата, на формулы сокращенного умножения (квадрат суммы), на свойства площадей многоугольников.

    Дети решают устно задачу по готовому чертежу.

    — Ребята отчитывают свои задания.

    Слайд 2. Содержит вопрос и гиперссылки на соответствующие слайды, иллюстрирующие свойства. Возврат на слайд 2 осуществляется с помощью гиперссылки “домой”.

    Слайд 16-18. По щелчку начинается демонстрация свойства. Прослушав ответ учащегося, по щелчку вызвать на экран формулу, выражающую свойство или словесную формулировку. По гиперссылке вернуться на слайд 2.

    После ответа на вопрос 1, по щелчку на экран выводится вопрос 2, а затем выводятся формулы для вычисления площади названного многоугольника.

    Слайд 3. По щелчку появляется чертеж задачи с записанным условием. Ребята решают устно задачу и щелчком появляется правильный ответ.

    В ходе изучения четырехугольников мы уже выполняли практические задания по “перекраиванию” различных фигур. Сейчас я предлагаю вам выполнить следующие перекраивания геометрических фигур.

    1 группа – прямоугольник в равнобедренный треугольник

    2 группа – равнобедренную трапецию в прямоугольник

    3 группа – параллелограмм в прямоугольник.

    И спользуя анимационные возможности презентации продемонстрировать возможные “перекраивания” фигур ( слайды 4 -5).

    Это позволит привлечь учащихся к совместной работе, поможет пробудить интерес к изучению темы. В процессе демонстрации слайдов повторяется одно из важных понятий: равновеликие фигуры .

    Перекраивание параллелограмма в прямоугольник подведет к проблеме нахождения площади параллелограмма.

    Комментарии к слайдам

    Давайте посмотрим, что у вас получилось.

    1) Что сохранилось у прямоугольника и треугольника?

    2) Как называются такие фигуры?

    — Прежде чем мы начнем говорить о перекраивании параллелограмма, мы немного отдохнем.

    Рассмотрим перекраивание параллелограмма в прямоугольник.

    Учащиеся рассказывают о “перекраивании” прямоугольника и трапеции, делая необходимые пояснения.

    Ученик у доски демонстрирует с помощью своих наглядных пособий перекраивание параллелограмма в прямоугольник.

    Учитель :Давайте попробуем исследовать вопрос о площади параллелограмма и найти способ ее вычисления, используя известные на сегодняшний день формулы площадей многоугольников.

    Изучение нового материала.

    Ставится проблемный вопрос: как найти площадь параллелограмма.

    Решение поставленной задачи проводится совместными исследованиями и обоснованиями учителя и учащихся, используя наглядные возможности анимации.( Слайд 6 ).

    В ходе обсуждения намечаются равенства и формулы, которые затем будут использованы при доказательстве теоремы о площади параллелограмма.

    Вызвать одного из сильных учеников для изложения теоремы

    — Какой вывод мы можем сделать из проведенного исследования, как же найти площадь параллелограмма АВСD?

    — Сторону АD параллелограмма в данном случае называют основанием.

    — А можем ли мы в параллелограмме провести еще высоту?

    — Как мы найдем площадь параллелограмма?

    — Таким образом, как мы можем сформулировать правило нахождения площади параллелограмма?

    Ребята, только что вы сами доказали теорему о нахождении площади параллелограмма.

    Провести высоту ВН и найти произведение длин отрезков АD и ВН.

    Да, к стороне С D провести высоту ВК.

    Площадь будет равна произведению ВК на С D .

    По окончании разбора теоремы учащиеся получают ее распечатку для дальнейшего изучения дома

    Учащиеся по тексту слайда следят за изложение доказательства теоремы о площади параллелограмма.

    Закрепление полученных знаний.

    Самостоятельная работа в группах и парах по решению задач и последующей проверкой.

    1 группа работает с учителем по презентации.

    2 группа работает самостоятельно 2 человека у доски, остальные на местах в парах. После решения проверяют ответы. (слайд )

    3 группа работает самостоятельно над объемным заданием (2 задачи) на месте. После проверка.

    Подведение итогов. Постановка домашнего задания.

    — В начале урока мною была поставлена цель, напомните её пожалуйста .

    (исследовать параллелограмм с целью изучения формулы для нахождения его площади)

    — достигли ли мы поставленной цели?

    — Что мы использовали для достижения цели урока?

    (Известные нам свойства площадей многоугольников, формулу площади прямоугольника).

    — Запишите домашнее задание.

    Выбранный для просмотра документ Чертеж для 3 группы.docx

    Рассчитайте, сколько надо краски, что бы покрасить пол такой формы в 2 слоя из расчета 90 г/м².

    Выбранный для просмотра документ площадь параллелограмма.ppt

    Урок геометрии в 8 «Б» классе по теме «Площадь параллелограмма» Выполнила: учитель математики МОУ «ГСОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов» Муромцева М.В. Волгоградская обл. 10.12.2008 г.

    1. Какие свойства площадей геометрических фигур иллюстрируют следующие рисунки? Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 2. Как вычислить площадь прямоугольника? Sпрям = ab 3. На какие теоремы, определения и свойства мы опирались при доказательстве теоремы о площади прямоугольника?

    Решите задачу. Дано : АВСD – прямоугольник. ВD = 8 см., DС = 6 см., ∠ВDС = 30º. Найти : S (АВСD) А В С D 30º 8 6 S (АВСD) = 24 см²

    Равновеликие фигуры «Перекроите» прямоугольник в равнобедренный треугольник. Что сохранилось у прямоугольника и треугольника? Как называются такие фигуры?

    2. «Перекроите» равнобедренную трапецию в параллелограмм.

    K A B C D H ∆ ABH = ∆ DCK … ABCD = ABH + HBCD HBCK = HBCD + DCK Фигуры ABCD и HBCK равновеликие по разложению, значит их площади равны. S(ABCD )= AD · BH S( HBCK )= HK · BH 3. «Перекроите» параллелограмм в прямоугольник

    Итак, площадь параллелограмма… A B C D H AD – сторона параллелограмма (основание) ВН — высота Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. К или CD –основание, ВК — высота S(АВСD )= AD · BH S(АВСD )= CD · BK

    Вывод формулы площади параллелограмма. Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны параллелограмма на высоту, проведенную к этой стороне. A B C D H Дано: АВСD – параллелограмм, ВН – высота Доказать: S(ABCD )= AD · BH Доказательство: проведем еще одну высоту параллелограмма – отрезок СК и рассмотрим треугольники АВН и DСК. K Они прямоугольные и равны по гипотенузе и катету (гипотенузы АВ и СD равны как противоположные стороны параллелограмма, катеты ВН и СК равны как расстояния между параллельными прямыми). Значит, площади треугольников равны. S(ABCD)=S(ABH)+S(HBCD) S(HBCK ) = S(HBCD)+S(DCK) , S(ABH)=S(DCK) S(ABCD)=S(HBCK) S(HBCK )= HK · BH, так как НВСК – прямоугольник; так как AD = BC = HK, то S(ABCD )= HK · BH = AD · BH . Итак, S(ABCD )= AD · BH . Теорема доказана.

    Sпарал.=а·ha Sпарал.=b·hb 1) Найдите S, если а = 15 см, ha = 12 см. 2) Пусть S = 34 см2, hb = 8,5 см, найдите b. 3) АD = 14 см, АВ = 12см, ∠А = 30º. Найдите S. b hb А В С D

    Ответы к задачам. 2 группа. 30 см² 56, 7 см² 3 группа. 24 см². S = 31,5 см²; 2 кг 835 г – 1 слой; 5 кг 670 г – 2 слоя.

    Домашнее задание: п.51, теорема о площади параллелограмма, 1 группа :№ 459(в, г); 2-3 группы : № 465 Дополнительная задача : В параллелограмме АВСD диагональ ВD перпендикулярна стороне АВ и равна 5 см. Сторона АD равна 8 см, ∠ВАD равен 60º. Найдите площадь параллелограмма.

    F1 F2 S1 S2 S F S = S1 + S2

    F2 S1 S2 F1 Если F1 = F2, то S1 = S2

    Интересная задача Начинаем «сдвигать» верхнее основание прямоугольника относительно нижнего. Каким должен быть острый угол второго четырехугольника, чтобы его площадь была вдвое меньше площади прямоугольника ? Основание не изменяется, изменяется длина смежной стороны и площадь. Какие отрезки надо рассмотреть и в каком соотношении они должны находится, чтобы выполнялось условие задачи? х х Каким же должен быть острый угол? 300 а b

    Выбранный для просмотра документ пояснительная записка.docx

    «Плохой учитель преподносит истину, хороший учит ее находить».
    А. Дистервег.

    Урок геометрии в 8 «Б» классе по тема: «Площадь параллелограмма».

    Учитель: Муромцева М.В., МОУ «Городищенская общеобразовательная школа №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

    На своем уроке я планировала реализовать следующие образовательные, развивающие и воспитательные цели:

    Образовательные цели урока соответствуют месту урока в системе уроков по изучаемой теме и направлены на усвоение и закрепление навыка вычисления площадей многоугольников, устранение пробелов в знаниях учащихся по данной теме.

    Развивающие цели данного урока направлены как на общее развитие ученика, так и на развитие у учащихся аналитико-синтезирующего, абстрактного мышления, развитие умений применять знания в различных ситуациях, развитие умений самостоятельной работы.

    Воспитательные цели данного урока направлены на формирование положительной мотивации учения, созданию “ситуации успеха” на данном уроке.

    Организация учебной деятельности.

    Актуализация опорных знаний, фронтальная работа с классом и по индивидуальным карточкам.

    Подготовка к восприятию нового материала.

    Изучение нового материала.

    Работа по закреплению изученного, работа в группах под контролем учителя, самостоятельная работа в парах и индивидуальные задания. Проверка и обсуждение полученных результатов.

    Подведение итогов урока.

    Постановка домашнего задания.

    Выбор методов обучения на уроке является одним из важных и сложных этапов подготовки к уроку. Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала я применила следующие методы и приёмы обучения: эвристический метод, беседа, самостоятельная работа, работа по индивидуальным карточкам, работа в парах и группах. практическая работа. Все приемы обучения я осуществляла с использованием дифференцированного подхода, что позволило каждому ребенку в классе почувствовать свою нужность и значимость на уроке, тем самым создать «ситуацию успеха».

    Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с разноуровневыми индивидуальными заданиями, разрезной материал для практических заданий.

    Урок проводится с использованием мультимедийной презентации Power Point.

    Организация учебной деятельности.

    Дети в классе перед уроком были распределены в группы в зависимости от уровня знаний каждого, таким образом, образовалось 3 группы: Ι уровень, ΙΙ уровень и ΙΙΙ уровень.

    Детям была объявлена цель урока.

    Актуализация опорных знаний.

    Для реализации этого этапа урока я использовала фронтальную и индивидуальную работу с учащимися. Представитель каждой группы детей получил карточку с индивидуальным заданием, соответствующей уровню знаний, в которой надо было осветить один теоретический вопрос и решить задачу. Таким образом, у доски работали 3 человека. С остальными детьми проводилась устная работа по повторению ранее изученного материала – это свойства площадей многоугольников, формула вычисления площади прямоугольника, проверялось умение детей выделять основные опорные моменты в доказательствах теорем.

    Затем устно решалась задача по готовому чертежу на нахождение площади прямоугольника: закреплялось умение детей по чертежу формулировать условие задачи и строить цепочку рассуждений при её решении.

    Далее заслушали ответы детей, работающих у доски.

    Подготовка к восприятию нового.

    Этот этап урока я проводила с помощью практического задания по перекраиванию геометрических фигур. Каждой группе было предложено задание. Дети могли наглядно, «вручную» убедиться в том, как из прямоугольника получается равнобедренный треугольник, из равнобедренной трапеции – параллелограмм, а из параллелограмма – прямоугольник и продемонстрировать результаты на вырезанных моделях.

    Это позволило привлечь учащихся к совместной работе, пробудить интерес к изучению темы. Каждая группа дала объяснение своей работе, тем самым закрепилось понятие равновеликие фигуры. Используя анимационные возможности презентации, демонстрировались возможные “перекраивания” фигур.

    Перекраивание параллелограмма разбиралось более детально, в ходе чего ребята сами сделали вывод о том, что параллелограмм и прямоугольник — равновеликие фигуры по разложению и их площади равны.

    Изучение нового материала.

    Для реализации этого этапа урока я применила эвристический метод: постановка проблемы и организация совместной поисковой деятельности по её разрешению. Перед ребятами была поставлена проблема: исследовать вопрос о площади параллелограмма и найти способ ее вычисления, используя известные на сегодняшний день формулы площадей многоугольников. Перекраивание параллелограмма в прямоугольник поможет ребятам при решении этой проблемы.

    После обсуждения проблемы детьми, я пригласила к доске ребенка из третьей группы для рассказа и обоснования своих суждений. Используя наглядные возможности анимации, я корректировала рассказ ребенка. В ходе обсуждения фиксировались равенства и формулы, которые затем будут использованы при доказательстве теоремы о площади параллелограмма. После того как детьми вместе с учителем было сформулировано правило нахождения площади параллелограмма и выведена формула, учащиеся по тексту слайда проследили за изложением доказательства теоремы о площади параллелограмма и получили ее распечатку для дальнейшего изучения дома.

    Я считаю этот метод наиболее эффективным. Если ребенок сам нашел дорогу домой, то он её уже не забудет. Инициатива, самостоятельность, творческий поиск проявляются в проблемно – поисковой деятельности наиболее полно, учащиеся при этом следят за логикой решения проблемы, их деятельность приобретает продуктивный характер.

    Работа по закреплению изученного.

    Во время этого этапа урока я постаралась привлечь к работе каждого ребенка, используя дифференцированный подход.

    Дети группы Ι уровня работали по слайдам презентации под моим руководством, решая простые задачи на нахождение площади параллелограмма и оформляя решение этих задач в рабочих тетрадях.

    ΙΙ уровень. Ребята разбились на 2 группы для самостоятельного решения своей задачи. От каждой группы у доски работал ребенок.

    ΙΙΙ уровень. Дети также распределились мною в 2 группы и самостоятельно решали более сложные задачи на применение формулы площади параллелограмма.

    Я старалась контролировать работу групп, определяя степень усвоения изученной формулы и использования известных свойств многоугольников.

    Через определенное время решение задач детей, работающих у доски и самостоятельно на местах, проверили, используя слайд презентации, выявили причины допустимых ошибок.

    Такой вид работы позволяет привлечь всех детей к деятельности, учит их самостоятельности. В то же время требует от учителя постоянного контроля за работой в группах, оказание помощи при необходимости.

    Подведение итогов урока.

    Подведения итогов я провела с помощью ребят, спросив у них, помнят ли они цель, которую я поставила в начале урока. Было очень приятно, когда я от детей услышала нужный ответ, что позволило мне сделать вывод о том, что цель достигнута и ребята усвоили материал проведенного урока. Ещё раз детьми было сформулировано правило нахождения площади параллелограмма, выделены опорные моменты в доказательстве теоремы.

    Постановка домашнего задания.

    Домашнее задание носило так же дифференцированный характер, которое дети могли увидеть на слайде презентации.

    infourok.ru